El pasado 25 del mes de Septiembre un grupo de alumnos de 4ºESO del Colegio Base nos dispusimos a repetir el experimento que realizó Eratóstenes hace dos siglos en Alejandría.
Este experimento consistía en colocar un gnomon (objeto alargado de unos 77 cm de altura) sobre un papel e ir midiendo el movimiento de la sombra de dicho gnomon proyectada en el papel, orientado en dirección este-oeste. Para ello estuvimos de 12:30 a 15:20 en el patio del colegio realizando medidas de la sombra que ejercía el gnomon cada 5 minutos.
Este proyecto es de carácter mundial ya que varios colegios de distintos países también lo realizaron, lo cual nos beneficia ya que precisamos de su ayuda para completarlo.
Entonces hicimos lo dicho, colocamos el papel orientado dirección este-oeste y posteriormente pegamos el gnomon encima y tomamos las medidas necesarias.Obtuvimos los siguientes datos.
GRUPO
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Longitud de la sombra (cm)
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Hora cenit
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Altura gnomon (cm)
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1
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70,5
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14:00:00
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78,5
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2
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71,8
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14:10:00
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77,5
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3
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69,6
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14:00:00
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78,5
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4
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72
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14:02:00
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76
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5
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71,65
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14:03:00
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78,3
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Promedios
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71,11
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14:03:00
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77,76
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Coordenadas del Colegio Base
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40º 30' 36'' N ; 3º 36' 40'' O
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KM al ecuador
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4503 km
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Posteriormente cuando ya teníamos todas las marcas hechas subímos al laboratorio donde íbamos a realizar la segunda parte del trabajo. Para ello cogímos el papel con las marcas y pusimos otra marca en el punto medio donde se encontraba el cénit. Luego cogimos un compás y trazamos un arco que cortaba la recta(formada por las marcas) en dos puntos.
Posteriormente trazamos la mediatriz de esos dos puntos, obteniendo la longitud de la sombra del cénit (momento en el que el sol está más alto) lo cual además nos dio la altura de cenit, lo que nos permitió calcular el ángulo correspondiente entre la altura y la sombra, un dato muy importante para el experimento.
Pero aquí no acaba la cosa, para completar la medición necesitábamos los datos de otro colegio que había medido el mismo día que nosotros y por eso escribimos un correo electrónico a un instituto argentino para que nos mandasen sus datos:
Dear Miss Rato,
I am writing this letter from Colegio Base in Spain with the purpose of asking you about the measures you made on the 23th of September.
It is about the Eratóstenes project with the of objective of measuring the diameter of the Earth.
I would be very pleased if you could send your measures on the next two days.
Best Regards,
Juan Martínez-Fresneda (4th of ESO student from Colegio Base,Spain)
Una vez que tenemos los datos necesarios, hay que empezar con los cálculos. El primero debe ser conocer la distancia entre nuestro colegio y el de Argentina. La distancia no ha de ser la distancia real entre Alcobendas y Córdoba, sino la distancia a la que encuentran ambos puntos del ecuador. Nuestro colegio está a 4503 kilómetros del mismo y Córdoba, a 3491 km. Al sumar estas dos cifras nos encontramos con que la distancia que buscábamos es de 7994 km.
Conociendo la relación entre el gnomon y su sombra, cuyo resultado es 0,91; averiguamos que la arcotangente entre estos dos datos es de 42º 26’. Haciendo lo mismo con los datos de Córdoba, averiguamos que su arcotangente es de 30º 15’. Con las dos tangentes ya calculadas, ahora hay que sumarlas, debido al estiramiento de los gnomons. Estas tangentes se restarán de no ser porque Córdoba (Argentina) y Alcobendas se encuentran en distintos hemisferios.
Contando con la suma de ambas tangentes (72º 41’), a lo que vamos a denominar a, ya podemos aplicar la siguiente proporción que nos servirá para poder calcular el radio de la Tierra:
360/Perímetro de la circunferencia = 72, 68 º / 7994 km =>
Perímetro de la circunferencia = 360·7994/72,68 = 39596 km.
Ya tenemos el perímetro, el siguiente paso es hallar el radio
P=Perímetro
r= Radio
pi = Número pi
P= 2· pi · r
r = P/2 · pi
r= 39596/ 2 · pi = 6301 km
Nuestro resultado final es de 6301 km, y la medida exacta del radio es de ¡6371 km! Resultados muy próximos, y para los errores de medida que seguro que ha habido es un éxito total.
Comprobemos nuestros errores absoluto y relativo:
Ea= 6371-6301= 70 km
Er= 70/6371= 0,011
0,011 · 100= 1,1 %
Un 1,1% de error es lo que hemos tenido, que es un dato bastante aceptable.
Para concluir nuestro trabajo, hemos de agradecer al colegio que nos ha proporcionado sus datos para llevar a cabo el proyecto. Ha sido un trabajo fascinante y el haber sido capaces de hallar el radio de un planeta únicamente midiendo sombras durante tres horas lo es más aún.
Iñaki Garrido, Juan Martínez-Fresneda y Carlos Ruiz-Jarabo.
18-10-2014
